Une loi bijective dans tous ses états

par | Mai 20, 2021 | blog | 0 commentaires

La bijection est une application qui associe à tout point d’un ensemble de départ X un et un seul point de l’ensemble d’arrivée Y… Attention… L’idée n’est pas de vous perdre, n’ayez crainte. Ce qui se trouve ci-dessous est une démonstration mettant en évidence « la magie », ou devrions nous dire la science qui va vous permettre d’opter pour la meilleure décision selon votre patrimoine hydraulique et la disponibilité de vos données à recueillir. 

En clair, ce n’est pas sorcier

Lorsqu’une loi se trouve être bijective, cela permet d’obtenir des données difficiles d’accès, voire trop coûteuse.

En effet, une fois la loi établie, connaître l’ensemble de départ équivaut à connaître l’ensemble d’arrivée. C’est particulièrement intéressant dans le cas d’une loi hauteur / débit, puisque la hauteur est généralement assez simple et peu coûteuse à mesurer, là où le débit est bien plus difficile d’accès.

Être capable d’établir une loi bijective entre la hauteur d’eau et le débit permet de passer d’un problème complexe (obtenir des mesures fiables de débit) à un problème plus simple (obtenir des mesures fiables de hauteur d’eau).

Une pour toutes et toutes pour une 

Les lois décrivant l’évolution du débit avec la hauteur d’eau ne sont pas toujours bijective. 

« Certains écoulements sont par nature indescriptibles avec une loi bijective entre une hauteur d’eau et un débit, comme par exemple le cycle crue / décrue. Dans ce cas, afin de récolter des données fiables et utiles pour la prise de décision, il convient de chercher un autre type de loi qui sera bijective. Dans notre exemple de cycle crue / décrue, on pourra faire appel à une loi reliant un couple de hauteur d’eau (une à l’aval une à l’amont) au débit. »

Pour les curieux qui se demandent à quoi ressemble cette loi :

Dans le cas de notre exemple de loi hauteur / débit : Pour pouvoir affirmer que la loi est bijective, il faut deux choses :

o   Chaque valeur de hauteur d’eau h de la gamme de hauteur d’eau a une et une seule valeur de débit associée par la loi Q = f(h)

o   Chaque valeur de débit Q de la gamme de débit a une et une seule valeur de hauteur d’eau h telle que f(h) = Q

Dans le cas de notre exemple de cycle crue / décrue : La loi sera alors du type Q = f(h1,h2). 

o   Le couple de hauteur d’eau (h1,h2) devient la variable d’entrée de la loi f. 

o   Cette loi f est bijective à condition qu’une seule valeur de débit Q soit associée à chaque couple de valeurs (h1,h2) et qu’un seul couple de valeurs (h1,h2) soit associée à chaque valeur Q.

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